"LA PROBABILIDAD"

ESTADÍSTICA

La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Un estudio estadístico consta de las siguientes fases:

• Recogida de datos.
• Organización y representación de datos.
• Análisis de datos.
• Obtención de conclusiones.  

LA PROBABILIDAD

La probabilidad es una rama de la matemática que debe sus orígenes a los juegos de azar, pero se les atribuye sus inicios formales a dos grandes matemáticos como son Blaise Pascal y

Pierre de Fermat, quienes, en el siglo XVII, sentaron las bases de lo que hoy conocemos como probabilidad.

Si bien la probabilidad es muy cercana a la estadística, no son lo mismo, pues la primera se ocupa de definir o decidir con cuanta certeza va a ocurrir o no un hecho, esto se representará con un valor del intervalo [0,1], en donde la no ocurrencia será 0 y la ocurrencia permanente será 1.

Como mencionamos anteriormente, la probabilidad, se utiliza principalmente para la predicción de situaciones, mediante la ocurrencia de experiencias a las que llamaremos experimentos
y de donde se obtendrán sucesos que irán aportando datos para una futura toma de decisiones respecto de un tema.

La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias, la administración, contaduría, economía y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

EXPERIMENTO ALEATORIO

Un experimento o fenómeno aleatorio es aquel del que no se puede predecir el resultado final, pues su ocurrencia o no ocurrencia, triunfo o fracaso o aprobación o reprobación están sujetos al azar.

Este tipo de experimento es contrario al determinista.

Si, antes de la realización de un experimento aleatorio, se pueden mencionar todos los posibles resultados o señalar el último que ellos, entonces estamos hablando de un experimento aleatorio finito. Sin embargo, si no es posible mencionarlos será un experimento aleatorio infinito.

Ejemplos:

•  El resultado del lanzamiento de una moneda o un dado.  
• La caída de un rayo en un mismo sitio dos veces.
• Apuntarle a la lotería.
• Encontrar productos defectuosos en una máquina embotelladora.
• El resultado de un partido de fútbol.

ESPACIO MUESTRAl

Un espacio muestral o espacio de muestreo es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se representa por la letra S, pero también se le reconoce por Ω.

Ejemplo:

• Si se lanza una moneda su espacio muestral será: S = { Cara, Sello} 
• A los elementos que componen un espacio muestral se les conoce como sucesos elementales o muestras. 
• En nuestro ejemplo entonces, tendremos los sucesos elementales cara y sello. 
• Un mismo experimento aleatorio puede contar con diversos espacios muestrales, dependiendo de lo que se desee predecir.

Existen dos tipos de espacios muestrales:

1. Espacio muestral discreto.
2. Espacio muestral continuo.

Espacio muestral discreto: si contiene un número finito o infinito numerable de puntos muestrales.

 Ejemplo: 

se tiene una urna con bolillas del 1 al 20. Se extrae una. S = {1, 2, 3…, 20} (finito)

Espacio muestral continuo: si contiene una infinidad no numerable de puntos muestrales. Ejemplo: su utiliza una balanza de precisión para pesar partículas metálicas. S= {X: 0 < X < infinito

 Discretos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es finito o infinito contable (numerable).

Continuos --> Aquellos espacios donde el nº de sucesos elementales es infinito incontable

Ejemplos:

En el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: 
Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:

Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}

Ω'= {2, 3,4,...,12}

 La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

DIFERENCIA ENTRE PROBABILIDAD CLÁSICA, FRECUENCIAL Y AXIOMÁTICA

Hay tres formas de calcular o estimar la probabilidad y se diferencian por lo siguiente:

• El enfoque clásico o "a priori" proveniente de los juegos de azar o definición clásica de Laplace que se emplea cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables.
•  La definición empírica, "a posteriori" o frecuencial que se basa en la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de ensayos repetidos.
•  la definición de Kolmogorov o definición axiomática de probabilidad se basa en las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función definida sobre un conjunto de sucesos determine consistentemente sus probabilidades.

Seleccionar uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema.

La teoría CLÁSICA DE LAPLACE O "A PRIORI" es de uso limitado puesto que descansa sobre la base de las siguientes dos condiciones:

1. El espacio muestra de todos los resultados posibles S es finito.
2. Los resultados del espacio muestra deben ser igualmente probables.

Bajo estas condiciones y si A es el evento formado por n(A) resultados del espacio muestra y, el número total de resultados posibles es n(S), entonces

La definición clásica se ve limitada a situaciones en las que hay un número finito de resultados igualmente probables. Por desgracia, hay situaciones prácticas que no son de este tipo y la definición de Laplace no se puede aplicar. Por ejemplo, si se pregunta por la probabilidad de que un paciente se cure mediante cierto tratamiento médico, o la probabilidad de que una determinada máquina produzca artículos defectuosos, entonces no hay forma de introducir resultados igualmente probables. Por ello se necesita un concepto más general de probabilidad (DEFINICIÓN EMPÍRICA "A POSTERIORI" 0 FRECUENCIAL). Una forma de dar respuesta a estas preguntas es obtener algunos datos empíricos en un intento por estimar las probabilidades.
Supongamos que efectuamos un experimento n veces y que en esta serie de n ensayos el evento A ocurre exactamente r veces, entonces la frecuencia relativa del evento es
 ,o sea, 
Si continuamos calculando esta frecuencia relativa cada cierto número de ensayos, a medida que aumentamos n, las frecuencias relativas correspondientes serán más estables; es decir; tienden a ser casi las mismas; en este caso decimos que el experimento muestra regularidad estadística o estabilidad de las frecuencias relativas. Esto se ilustra en la siguiente tabla, de una moneda lanzada al aire 1000 veces.

# de lanzamientos	# de caras	Frecuencia relativa	Frecuencia acumulada	Frecuencia acumulada relativa
1 - 100	52	0.52	52	0.520
100 - 200	53	0.53	105	0.525
200 - 300	52	0.52	157	0.523
300 - 400	47	0.47	204	0.510
400 - 500	51	0.51	255	0.510
500 - 600	53	0.53	308	0.513
600 - 700	48	0.48	356	0.509
700 - 800	46	0.46	402	0.503
800 - 900	52	0.52	454	0.504
900 -1000	54	0.54	508	0.508
Total: 1000	508	0.508

En un total de 1000 lanzamientos ocurrieron 508 caras, es decir la frecuencia relativa es aproximadamente 0.50.

Tres investigadores realizaron experimentos y obtuvieron los siguientes resultados

Investigador	Número de lanzamientos	Número de caras	Frecuencia relativa
Buffon	4040	2048	0.5069
K. Pearson	12000	6019	0.5016
K. Pearson	24000	12012	0.5005

La mayoría de experimentos aleatorios de importancia práctica tienen estabilidad, por esto podemos sospechar que prácticamente será cierto que la frecuencia relativa de un evento E en un gran número de ensayos es aproximadamente igual a un determinado número P(E), o sea, la probabilidad del evento E es

Obsérvese que este número es una propiedad que no depende solamente de E, sino que se refiere a un cierto espacio muestra S y a un experimento aleatorio. Entonces, decir que el evento E tiene probabilidad P(E) significa que si efectuamos el experimento muchas veces, es prácticamente cierto que la frecuencia relativa de E, f_r(E) es aproximadamente igual a P(E).
Cuando se usa la definición frecuencial, es importante tomar en cuenta los siguientes aspectos:

1. La probabilidad obtenida de esta manera es únicamente una estimación del valor real.
2. Cuanto mayor sea el número de ensayos, tanto mejor será la estimación de la probabilidad; es decir, a mayor número de ensayos mejor será la estimación.

3. La probabilidad es propia de sólo un conjunto de condiciones idénticas a aquéllas en las que se obtuvieron los datos, o sea, la validez de emplear esta definición depende de que las condiciones en que se realizó el experimento sean repetidas idénticamente.

 Las definiciones anteriores son netamente empíricas o experimentales, sin embargo después de establecer una forma de determinar la probabilidad experimentalmente, se pueden deducir leyes o propiedades de la probabilidad en forma lógica o computacional bajo ciertas suposiciones llamados AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD.

La probabilidad de un evento A se define como el número P(A), tal que cumple con los siguientes axiomas:

AXIOMA 1: La probabilidad P(A) de cualquier evento no debe ser menor que cero ni mayor que uno: 0 < P(A) < 1

AXIOMA 2: P(S) = 1

AXIOMA 3: Si A y B son dos eventos mutuamente exclusivos (A Ç B = Æ ), entonces: 
P (A È B) = P(A) + P(B)
Toda la teoría elemental de la probabilidad está construida sobre las bases de estos tres simples axiomas.
Si el espacio muestral es infinito, debemos reemplazar el axioma 3 por el

AXIOMA 4: Si A₁, A₂, … son eventos mutuamente exclusivos, entonces tenemos que
P(A₁ È A₂ È …) = P(A_l) + P(A₂) +…+

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA PROBABILIDAD

Estos son los tres teoremas mas importantes de la probabilidad clasica los idearon Bernoulli (Teorema de la suma, formalizado por Bayes) , De Moivre (Teorema de la multiplicación) y Bayes (Teorema de la probabilidad condicionada), aunque todos los conceptos que se manejan en estos teoremas aparecen ya de forma implícita y muy frecuente en los diferentes trabajos de Pascal, Fermat y Huygens.

• Teorema de la Suma: 

Pascal dio a entender implícitamente que sabía cómo calcular los casos favorables de un suceso A si conocía los casos favorables de unos Aj disjuntos cuya unión es A (es decir, si los Aj son una partición de A). Jacob Bernoulli también fue consciente de ello, y fue más lejos al darse cuenta de que la probabilidad de la unión no es la suma de las probabilidades si los sucesos no son disjuntos, aunque no supo dar la razón. 

No fue ninguno de ellos quien formuló finalmente el teorema de la suma de la probabilidades, sino el reverendo inglés Thomas Bayes (1702–1761), cuyo trabajo fue leído póstumamente, en 1763. En esta obra, Bayes da la primera definición rigurosa y explícita de sucesos disjuntos y enunció la fórmula ahora conocida:
P(A B) = P (A) + P(B)− P(A∩B) ∪ 

• Teorema de la Multiplicación: 

Al igual que el teorema anterior, el teorema de la multiplicación de probabilidades era conocido por casi todos los matemáticos anteriores a través de resultados particulares. No obstante, fue Abraham De Moivre el primero que lo enunció rigurosamente. De Moivre fue un hugonote francés que debido a su religión se ausentó de Francia y vivió como refugiado en Inglaterra. Allí publicó su obra The doctrine of chances (Doctrina de las Probabilidades) en 1711. De Moivre presentó el importante concepto de independencia de sucesos aleatorios; así, escribió: “Diremos que dos sucesos son independientes, si el primero de ellos no tiene ninguna relación con el otro” y procedió a definir los sucesos dependientes: “Dos sucesos son dependientes si están ligados el uno al otro y la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos influye en la probabilidad de ocurrencia del otro”. Una vez hecho esto, De Moivre lo aplicó al cálculo de probabilidades: «la probabilidad de ocurrencia de dos sucesos dependientes es igual a la probabilidad de ocurrencia de uno de ellos dividida por la probabilidad de que el otro ocurra si el primero ya ha ocurrido. Esta regla puede generalizarse para varios sucesos ». El caso de varios sucesos lo describía así: “Se necesita elegir uno de ellos como el primero, otro como el segundo, y así. Luego, la ocurrencia del primero debe considerarse independiente de todas las demás; el segundo debe considerarse con la condición de que el primero ha ocurrido: el tercero con la condición de que tanto el primero como el segundo han ocurrido, y así. De aquí, la probabilidad de las ocurrencias de todos los sucesos es igual al producto de todas las probabilidades” Esto es:
P() = P() P(|)…….P(|1A∩2AnA∩∩.....1A2A1AnA1A1....−∩∩nA)

La obra de De Moivre contó con tres ediciones, lo que da una idea del gran interés que despertó esta materia en aquella época. En las dos últimas ediciones de la obra el autor también da las primeras indicaciones acerca de la distribución normal de las
probabilidades, que más tarde desarrollaría un papel sumamente importante en el desarrollo la teoría de la probabilidad. 

• Teorema de Bayes: 

El trabajo de De Moivre fue seguido y difundido en la mayoría de los círculos científicos importantes de Europa y fue el británico Thomas Bayes, probablemente alumno de De Moivre en Londres, quien extendió el trabajo del francés y expresó la probabilidad condicional en función de la probabilidad de la intersección:
P(A/B)= [P(B/A) P(A)] / P(B)

 
Además, el teorema que lleva su nombre no es sólo suyo, ya que Bayes no estaba en condiciones de formular con probabilidades totales. Fue Pierre–Simon Laplace (1749–1827) quien mejoró y desarrolló la mayor parte del teorema de Bayes en su Théorie analytique des probabilités (Experiencia en la Filosofía de la Teoría de la Probabilidad) en 1812.

Sea A un suceso que ocurre en conjunción con uno y sólo uno de los n sucesos disjuntos . Si se sabe que el suceso A ha ocurrido, ¿cuál es la probabilidad de que el suceso también? Laplace respondió de la siguiente manera: “La probabilidad de existencia de una de esas causas es igual a una fracción con un numerador igual a la probabilidad del suceso que se sigue de esta causa y un denominador que es la suma de las probabilidades relativas a todas las posibles causas. Si estas diferentes causas a priori no son equiprobables, entonces en lugar de tomar la probabilidad del suceso que sigue a cada causa, se toma el producto de esta probabilidad por tantas veces la probabilidad de la causa”. Esta fórmula se escribe en notación más actual de la siguiente manera: nBB.....1jB 

P() = ABi|Σ∞=⋅⋅1)()|()|()(iiiiiBPBAPBAPBP 

Aparte de esta revisión importantísima del teorema de Bayes, Laplace incluye en su obra una exposición sistemática muy completa de la teoría matemática de los juegos de azar con aplicaciones a una gran variedad de cuestiones científicas y prácticas. En su libro citado anteriormente dedica una extensa introducción escrita para los lectores no matemáticos a explicar sus puntos de vista generales sobre todas las cuestiones y apreciaciones de los resultados alcanzados con la ayuda de la teoría de la probabilidad. El estudio de esta introducción es muy famoso y se recomienda a todos los interesados en la historia de la ciencia.

Probabilidad condicional dependencia e independencia de eventos.

Probabilidad condicional 

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad que en el dado salga un 6 dado que ya que haya salido una cara en la moneda? Esta probabilidad se denota de esta manera: P(6|C).

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Es general el hecho que en un fenómeno aleatorio intervengan más de una condición, que a éstas, se incorporen nuevas condiciones, sobre las cuales se desarrolla el fenómeno.

El agregar una nueva condición, puede modificar considerablemente la probabilidad del resultado de una operación u observación individual.

La probabilidad de seleccionar un lapicero verde, en un almacén de artículos de oficina, es diferente a la probabilidad de seleccionar un lapicero en un estante de lapiceros.

En tanto no se tome en cuenta la nueva condición, se tiene la probabilidad del evento, si se toma en cuenta la nueva condición se tiene la probabilidad condicional del evento.

P(Evento A/dado el evento B) = P(A/B) = P(AB)/P(B)

De los teoremas derivados de la definición anterior, se tiene el Teorema o Regla de la Multiplicación:

Para toda colección de n+1 eventos A0, A1, A2,........An-1, An para el cual:

P(A0 A1 ....... An-1) > 0

P(A0 A1 ...... An) = P(A0) P(A1/A0) P(A2/A0 A1) ... P(An/A0 A1 ... An-1)

La probabilidad condicional del evento A dado el evento B es la probabilidad de A en el espacio de probabilidad del evento B.

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

(PnA)=P(A)P(B)

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.

La fórmula para calcular esta probabilidad es:



Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.

Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:

Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).

Ejemplo: al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el 100%

Ejemplo: al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de la probabilidad total.

EL TEOREMA DE BAYES

Thomas Bayes (Londres, Inglaterra, 1702 - Tunbridge Wells, 1761) fue un matemático británico y ministro presbiteriano. Su obra más conocida es el Teorema de Bayes.




Estudió el problema de la determinación de la probabilidad de las causas a través de los efectos observados. El teorema que lleva su nombre se refiere a la probabilidad de un suceso condicionado por la ocurrencia de otro suceso. Más específicamente, con su teorema se resuelve el problema conocido como "de la probabilidad inversa". Esto es, valorar probabilísticamente las posibles condiciones que rigen supuesto que se ha observado cierto suceso. Se trata de probabilidad "inversa" en el sentido de que la "directa" sería la probabilidad de observar algo supuesto que rigen ciertas condiciones. Los cultores de la inferencia bayesiana (basada en dicho teorema) afirman que la trascendencia de la probabilidad inversa reside en que es ella la que realmente interesa a la ciencia, dado que procura sacar conclusiones generales (enunciar leyes) a partir de lo objetivamente observado, y no viceversa.

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes (1702-1761) en 1763, que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir, por ejemplo, que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza. Muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales . Entonces, la probabilidad viene dada por la expresión:




donde:
son las probabilidades a priori,
es la probabilidad de en la hipótesis ,

son las probabilidades a posteriori.